考研數(shù)學(xué)大數(shù)定律和中心極限定理題型解析

　　隨著2014年考研日期的日趨臨近，莘莘學(xué)子們正忙碌而緊張地進(jìn)行著各考試科目的最后總復(fù)習(xí)，在各門考試科目中，數(shù)學(xué)作為一門公共科目，常常令一些考生感到頭疼、沒(méi)有把握，這一方面是因?yàn)閿?shù)學(xué)本身的邏輯性、連貫性很強(qiáng)、公式多、計(jì)算量大，要學(xué)好它有一定難度，另一方面是因?yàn)槟承┛忌郧皩?duì)數(shù)學(xué)的重視程度不夠，基礎(chǔ)知識(shí)學(xué)得不夠扎實(shí)，所以面對(duì)即將到來(lái)的大考信心不足。為了幫助這些考生能順利通過(guò)考試，老師針對(duì)歷年考研數(shù)學(xué)的題型特點(diǎn)，進(jìn)行深入解剖，分析提煉出各種題型及方法，供考生們參考。下面主要分析概率統(tǒng)計(jì)部分中的大數(shù)定律和中心極限定理的題型及解題方法。

　　題型：概率統(tǒng)計(jì)中的大數(shù)定律和中心極限定理的題型及解題方法

　　概率統(tǒng)計(jì)中的大數(shù)定律和中心極限定理的題型，在考研數(shù)學(xué)（一）和（三）的歷年考試中出現(xiàn)的頻率雖然不高，但仍在考試大綱范圍之內(nèi)，考試中仍有可能出現(xiàn)這種題型，因此，考生們對(duì)這種題型也應(yīng)該有所了解，對(duì)基本題的解題方法應(yīng)該掌握。

　　解答這種題型，首先要理解考試大綱中要求的3個(gè)大數(shù)定律和兩個(gè)中心極限定理。下面我們簡(jiǎn)述一下這幾個(gè)定理。

　　切比雪夫大數(shù)定律：設(shè)隨機(jī)變量X1,X2,…相互獨(dú)立，E(Xi)=μi，{D(Xi)，i=1,2,…}有界，則ε>0，

　　辛欽大數(shù)定律：設(shè)隨機(jī)變量X1,X2,…相互獨(dú)立且服從同一分布，E(Xi)=μ，i=1,2,…，則ε>0，

　　伯努利大數(shù)定律：設(shè)在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)為fA,P(A)=p，則

　　獨(dú)立同分布的中心極限定理：設(shè)隨機(jī)變量X1,X2,…相互獨(dú)立且服從同一分布，E(Xi)=μ，D(Xi)=σ2>0，i=1,2,…，則的標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量依分布收斂于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，即。

　　棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理：設(shè)隨機(jī)變量～B(n,p)(n=1,2,…)，0<p<1，則的標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量依分布收斂于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。

　　與大數(shù)定律相關(guān)的還有切比雪夫不等式：

　　例1.設(shè)總體X服從參數(shù)為2的指數(shù)分布，X1,X2,…,Xn為來(lái)自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，則當(dāng)n→∞時(shí)，依概率收斂于＿＿＿

　　（2003年考研數(shù)學(xué)三真題第一（6）題）

　　解析：因?yàn)閄1,X2,…,Xn獨(dú)立同分布，所以X12,X22,…,Xn2也獨(dú)立同分布，由辛欽大數(shù)定律知依概率收斂于E(X2)=D(X)+E2(X)=，故正確答案是

　　例2.生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品成箱包裝，每箱的重量是隨機(jī)的，假設(shè)每箱平均重50千克，標(biāo)準(zhǔn)差為5千克，若用最大載重為5噸的汽車承運(yùn)，試?yán)弥行臉O限定理說(shuō)明每輛車最多可以裝多少箱，才能保證不超載的概率大于0.977 ? （Φ(2)=0.977，其中Φ(x)是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)）

　　（2001年考研數(shù)學(xué)三真題第十一題）

　　解：設(shè)Xi表示i箱的重量（千克），共n箱，由題設(shè)可知X1,X2,…,Xn獨(dú)立同分布，且E(Xi)=50，D(Xi)=52=25，由中心極限定理得P= ，故最多可以裝98箱。

　　例3.設(shè)隨機(jī)變量 X,Y的數(shù)學(xué)期望分別為－2和2，方差分別為1和4，而相關(guān)系數(shù)為－0.5，則根據(jù)切比雪夫不等式P{|X+Y|≥6}≤＿＿

　　（2001年考研數(shù)學(xué)三真題第一(4)題）

　　解析：使用切比雪夫不等式時(shí)需要知道X+Y的期望和方差。令Z=X+Y，則E(Z)=E(X)+E(Y)=－2+2=0，Cov(X,Y)=，D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)=1+4-2=3，于是P{|X+Y|≥6}=P{|Z-E(Z)|≥6}

　　上面就是考研數(shù)學(xué)中概率統(tǒng)計(jì)部分的大數(shù)定律和中心極限定理的題型及解題方法，供考生們參考借鑒。在以后的時(shí)間里，老師還會(huì)陸續(xù)向考生們介紹其它考研數(shù)學(xué)題型及解題方法，希望各位考生留意查看。最后預(yù)祝各位考生在2014考研中取得佳績(jī)。